Matemáticas III

Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

1. Conceptos básicos
2. Existencia y unicidad de la solución
3. Ecuaciones diferenciales de primer orden en Economía.
4. Equilibrio y estabilidad
5. Resolución de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden
5.1 Ecuaciones de primer orden de variables separables
5.2 EDO lineal de primer orden. Método variación de constantes
5.3 EDO lineal de coeficiente y término independiente constantes
5.4 Ecuaciones de Bernoulli.
5.5 Análisis cualitativo de las ecuaciones autónomas. Diagramas de fase. Sendas temporales o trayectorias.
6. Aproximación lineal de las ecuaciones diferenciales no lineales
7. Aplicaciones en Economía. Modelos de crecimiento poblacional: exponencial y logístico. Gestión de recursos renovables. Modelo de crecimiento económico de Solow. Modelo SIS de propagación de epidemia. Modelo de inflación. Modelo de difusión de un producto en diferentes mercados, etc.
8. Apéndice matemático. Integrales racionales.

Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de segundo orden

1. Introducción
2. Ecuaciones diferenciales de orden dos y coeficientes constantes. Ecuación homogénea. Ecuación completa
3. Estudio de la estabilidad
4. Aplicaciones en Economía. Modelo de mercado con tendencia y expectativas en los precios. Modelo de ajuste de precios bajo exceso de demanda
5. Apéndice matemático. Números complejos y trigonometría.

Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

1. Definiciones
2. Resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales
2.1 La matriz del sistema es diagonal
2.2 La matriz del sistema es canónica del tipo I (autovalor doble)
2.3 La matriz del sistema es canónica del tipo II (autovalores complejo-conjugados)
2.4 Sistemas homogéneos generales
2.5 Sistemas completos. Solución de PVI.
3. Estudio de las trayectorias en el espacio de fases y tipos de equilibrio. i) Caso de 2 autovalores reales diferentes. ii) Caso de un autovalor real doble. iii) Caso de 2 autovalores complejo-conjugados.
4. Sistemas no lineales. Diagramas de fase. Aproximación lineal.
5. Aplicaciones. Modelo depredador-presa. Aproximación lineal del modelo SIR de propagación de epidemia.
6. Apéndice matemático. Autovalores y autovectores de matrices cuadradas de orden 2.

Capítulo 4. Ecuaciones en diferencias finitas de primer orden

1. Introducción
2. Ecuaciones de primer orden autónomas
3. Diagramas de fase
4. EDF lineal de primer orden. EDF lineal de coeficientes constantes. Ecuación homogénea. Ecuación completa. Diagrama de fase y órbita.
5. Aplicaciones en Economía. Modelos alternativos de oferta-demanda: expectativas adaptativas en precios, etc.

Capítulo 5. Ecuaciones en diferencias finitas de segundo orden

1. Introducción
2. Ecuación homogénea de coeficientes constantes.
3. Estabilidad asintótica de la ecuación homogénea
4. Ecuación completa de coeficientes constantes con término independiente constante o variable. Solución del PVI
5. Aplicaciones en Economía. Modelo multiplicador-acelerador. Modelo de expectativas en precios, etc.

Capítulo 6. Sistemas de ecuaciones en diferencias finitas y cadenas de Markov

1. Introducción.
2. Sistemas homogéneos.
3. Estabilidad y tipos de equilibrio en los sistemas homogéneos. Casos de matrices diagonal, canónica tipo I y tipo II.
4. Solución de sistemas completos.
5. Cadenas binarias de Markov.
6. Aplicaciones en Economía. Mercados interrelacionados. Movimientos migratorios.
7. Apéndice matemático. Potencias de matrices.